"אה, עכשיו הבנתי!"

"אה, עכשיו הבנתי! אם אני הבנתי את זה דרך ההמחשה, גם התלמידים שלי יכולים להבין. אבל אני צריכה לחשוב אילו שאלות לשאול אותם." את המשפט הזה אמרה מורה למתמטיקה בחטיבת הביניים במהלך השתלמות. היא לא ישבה והקשיבה להרצאה, אלא התנסתה בעצמה בהמחשה, בדיוק כפי שהייתה רוצה שתלמידיה יתנסו בכיתה.

במשך כמה דקות היא פעלה כמו תלמידה: חקרה, השוותה, בדקה והסיקה מסקנות. ואז קרה משהו מעניין. היא עצרה לרגע, וכבר לא חשבה כמו תלמידה אלא כמו מורה. אילו שאלות אשאל? על מה אכוון את תשומת הלב? איך אעזור לתלמידים לגלות בעצמם את הרעיון המתמטי?

באותו רגע הבנתי שהמחשות אינן רק כלי ללמידת תלמידים. הן גם כלי רב עוצמה ללמידה של מורים.

מהי המחשה?

המחשה היא הזדמנות לאפשר לתלמידים ללמוד מתמטיקה בגוף ראשון. במקום להסתפק בהקשבה להסבר, הם חוקרים, נוגעים, מקפלים, גוזרים, מזיזים, מודדים ומסיקים מסקנות בעצמם, עוד לפני שהמורה מציג את ההגדרה או את ההסבר הפורמלי.

כך, למשל, במקום להסביר שגובה במשולש קהה זווית נמצא מחוץ למשולש, אפשר לתת לתלמידים משולש, חוט וחרוז. כשהם מזיזים את החרוז לאורך החוט, הם מגלים בעצמם היכן עובר הגובה ומדוע. באופן דומה, במקום להתחיל בהגדרה של זווית, אפשר לתת לתלמידים שתי קשיות המחוברות במנקה מקטרות. כשהם פותחים וסוגרים את הקשיות, משווים בין הזוויות ובוחנים כיצד גודל הפתיחה משתנה, הם בונים בעצמם את משמעות המושג "זווית". רק לאחר ההתנסות מגיעות ההגדרה והשפה המתמטית.

כך ההבנה אינה נשענת על שינון, אלא על חוויה של גילוי. בהמחשה טובה, המורה אינו מקדים את ההסבר לגילוי, אלא יוצר את התנאים לכך שהתלמידים יגלו את הרעיון המתמטי בעצמם.

אנחנו רגילים לחשוב שהמטרה של המחשות היא להפוך מושגים מופשטים לנגישים יותר עבור תלמידים. ואכן, הן מאפשרות לראות, לגעת, להזיז ולחקור רעיונות שקשה להבין מתוך ציור או נוסחה בלבד. אבל במהלך השנים שבהן ליוויתי השתלמויות למורי מתמטיקה בחטיבות הביניים, גיליתי תהליך נוסף ומשמעותי לא פחות: דווקא כאשר המורים עצמם מתנסים בהמחשות וחושבים כיצד להשתמש בהן בכיתה, גם הידע המתמטי שלהם מתפתח.

מדוע ללמד מתמטיקה זה הרבה יותר מלדעת מתמטיקה?

כולנו מצפים שמורה למתמטיקה ישלוט בחומר הלימוד. אבל הוראה דורשת הרבה יותר מכך. מורה צריך להבין כיצד תלמידים חושבים, אילו תפיסות שגויות עלולות להתעורר, כיצד לבחור ייצוג שידגיש את הרעיון המרכזי, ובעיקר אילו שאלות יקדמו את החשיבה של התלמידים במקום לספק להם תשובות.

חוקרת החינוך דבורה בול ועמיתיה כינו ידע זה "הידע המתמטי להוראה" (Mathematical Knowledge for Teaching). זהו הידע שמאפשר להפוך מושג מתמטי ללמידה משמעותית.

אבל כיצד מפתחים ידע כזה?

מהניסיון שלי, אחת הדרכים היעילות ביותר היא דווקא באמצעות התנסות פעילה בהמחשות.

בהשתלמויות המורים לא למדו כיצד "להציג" המחשה. הם פעלו איתה בעצמם. הם חקרו, בדקו, השוו והסיקו מסקנות, בדיוק כפי שהיינו רוצים שהתלמידים יעשו בשיעור.

אלא שהחלק המשמעותי ביותר הגיע לאחר ההתנסות.

יחד חשבנו אילו שאלות כדאי לשאול את התלמידים, כיצד לכוון את תשומת הלב שלהם, באיזה רגע לעצור את הפעילות, ואיך להוביל אותם מההתנסות הפיזית אל הרעיון המתמטי.

דווקא המעבר הזה, מההתנסות אל החשיבה על ההוראה, הוא שהפך את ההמחשה לכלי לפיתוח מקצועי.

ההמחשה נשארת אותה המחשה. השאלות משתנות

באחת ההשתלמויות אמרה אחת המורות: "מה שהם רואים, זה מה שהם חושבים שזה... ואז פתאום אנחנו אומרים להם אחרת. אנחנו מבלבלים אותם."

המשפט הזה שינה את כיוון הדיון.

לא דיברנו עוד על ההמחשה עצמה, אלא על הדרך שבה תלמידים מפרשים אותה. אילו שאלות יעזרו להם לשים לב לפרטים החשובים? כיצד נוביל אותם להבחין במהות המתמטית ולא רק במה שנראה לעין? ואיך נאפשר להם לגלות את הרעיון בעצמם?

אלה השאלות שהתחילו להעסיק את המורים.

כשהשאלות משתנות, גם ההוראה משתנה

ככל שההשתלמות התקדמה, גם השיח בין המורים השתנה.

במקום לשאול איזו המחשה כדאי להביא לכיתה, הם התחילו לשאול:

• מה התלמידים צפויים לחשוב?
• איזו שאלה תגרום להם לעצור ולהתבונן מחדש?
• איך אפשר לעודד אותם להסיק את המסקנה בעצמם?
• מתי נכון להתערב, ומתי דווקא לתת להם להמשיך לחקור?

השאלות האלה אינן רק שאלות פדגוגיות. הן מחייבות את המורה להבין את המתמטיקה לעומק ואת הדרך שבה תלמידים בונים את ההבנה שלה.

אחת המורות סיכמה זאת במשפט קצר: "זה בדיוק הידע המתמטי בהוראת המתמטיקה... פתאום אמרתי לעצמי: אה, אוקיי, ככה בונים את זה."

איך לא רק ללמד טוב יותר, אלא גם להבין טוב יותר?

המחשות מסייעות לתלמידים ללמוד מתמטיקה, אבל הן מעניקות למורים משהו נוסף. הן מזמנות להם לעצור, לחשוב מחדש על מושגים שהם מלמדים שנים, לדייק את השאלות שהם שואלים ולבחון כיצד תלמידים בונים משמעות מתוך ההתנסות.

במובן הזה, ההמחשה אינה רק אמצעי הוראה. היא גם אמצעי ללמידה מקצועית – וכאשר גם המורה ממשיכה ללמוד, כל תלמידיה מרוויחים.

טיפים למורים: כך תוכלו להתחיל להמחיש כבר בהשתלמות או בשיעור הבא

• התנסו קודם בעצמכן.ם. לפני שתביאו המחשה לכיתה, פעלו איתה כפי שהייתן.ם רוצים שהתלמידים יפעלו: חקרו, בדקו, טעו ונסו להבין את הרעיון המתמטי מתוך ההתנסות.
• תכננו שאלות לפני הסברים. במקום לחשוב רק מה תאמרו לתלמידים, חשבו אילו שאלות יעזרו להם לגלות בעצמם את הרעיון המתמטי.
• שוחחו על ההוראה, לא רק על ההמחשה. לאחר ההתנסות, דונו עם עמיתים בשאלות כמו: מה תלמידים צפויים לחשוב? מה עלול לבלבל אותם? ואיזו שאלה תקדם את ההבנה שלהם?
• הובילו מהמוחשי למופשט. ההמחשה היא נקודת הפתיחה. הקדישו זמן לחבר בין מה שהתלמידים עשו, ראו וגילו לבין ההגדרות, המשפטים והשפה המתמטית.
• התבוננו גם בעצמכן.ם. בסיום השיעור שאלו לא רק מה התלמידים למדו, אלא גם מה אתן.ם למדתן.ם על המתמטיקה ועל הדרך שבה אתן.ם מלמדים אותה.

אולי זו התרומה המשמעותית ביותר של המחשות. הן אינן רק מסייעות לתלמידים להבין מתמטיקה. הן מאפשרות גם למורים להמשיך ללמוד, להעמיק את הידע המקצועי שלהם ולדייק את ההוראה שלהם. וכשמורים ממשיכים ללמוד, גם תלמידיהם ממשיכים להרוויח.