הגבול הדק שבין הוראת מתמטיקה יפה, לטכנית

בכתבה הקודמת תיארתי את לימודי המתמטיקה בבית הספר כמו שהם נראים לאוהבי המתמטיקה – כלימודי מוזיקה המתמקדים בלמידת והעתקת תווים, אך ללא קשר לצלילים ולמוזיקה עצמה, או כלימודי "מדעי האיקאה" (מקצוע שבדיתי) שמלמדים לבנות רהיטים ללא קשר לרהיט עצמו, אלא על ידי הברגת בורג ספציפי, לפי תמונה אקראית, עם כלי מתאים בלבד, למקום מדויק. בכל שיעור. וחלילה שהתלמידים ידברו על יצירת רהיט שלם או נגיעה בפלאייר. זה מתקדם מדי.

לאחר שתהיתי האם אנשים נוספים חשים כך, גיליתי מהשיח במגזין שאכן המצב הוא כזה, לפחות על פי רוב התגובות. היה גם נהדר לשמוע שישנם מורים שמצליחים ללמד אחרת, בצורה שמחברת את הטכניקה ה"יבשה" לתיאוריה מעניינת או לשימושים יום-יומיים של המתמטיקה, באופן שמלהיב את התלמידים ומעניין אותם. ודווקא מתוך זה אני רוצה לתהות עמכם האם אופן הלימוד המתמטי הנפוץ בבתי הספר כיום הוא הכרחי? האם הניסיון ללמד מתמטיקה בדרך שלי נראית יפה או מעניינת יותר נידון לכישלון?

אנסה לתת דוגמא ללימוד מתמטיקה מהמאמר של לוקהארט, שהיא פשוט נפלאה, לגבי מהי מתמטיקה יפה, מהי מתמטיקה טכנית, וכמה דק ההבדל בין הוראתן לפעמים. 

לוקהארט מביא, לכאורה משום מקום, חידה: ציור של משולש בתוך מלבן. אנחנו רוצים לדעת איזה אחוז משטח המלבן תופס המשולש (יש שלושה משולשים, אני מתכוון לזה הגדול, שהצלע התחתונה שלו היא הצלע התחתונה של המלבן):

החידה הזו מעלה אוטומטית תחושות רעות: למי אכפת בכלל כמה שטח תופס המשולש? איפה משתמשים בזה בחיים האמיתיים? איכס צריך לחשב שטחים, ואחוזים! מאיפה לנו לדעת? צריך כלי מדידה! ועוד ועוד ועוד. הבנתם את הקטע. גם בי החידה הזו מעלה את התחושות הללו. אבל צריך להבין שגם אצל המתמטיקאים יש את התחושות הללו, ולכן חלקם מנסים למצוא קיצורי דרך. ומה המתמטיקאים עושים כאן? פשוט מאוד – מציירים קו אנכי מהקודקוד העליון של המשולש אל הצלע התחתונה של המלבן:

והשינוי הקטן הזה פותר הכל. כי פתאום אנחנו רואים שחילקנו את המלבן לארבעה משולשים, כשכל זוג משולשים (שני הימניים ושני השמאליים) - זהים. אם הם זהים, ברור שהמשולש תופס בדיוק חצי משטח המלבן, וזה פותר את הכל. זו לא הוכחה מתמטית פורמלית, כי עדיין צריך להראות שבאמת כל זוג משולשים הם זהים, אבל זה עניין של חפיפת משולשים שהוא פשוט למדי, וזה לא העיקר כאן - אלא האופן שבו בעיה מסובכת וגועלית הפכה פתאום לטריוויאלית.

אבל למה זה מעניין? ובכן, כי כמעט בלי לשים לב, הוכחנו פה את הנוסחה של שטח משולש: שטח המשולש הוא חצי משטח המלבן, ושטח המלבן הוא מכפלה של אורך צלעותיו, אז אפשר לקחת את הצלע התחתונה (שהיא גם צלע של המשולש) ולכפול אותה בצלע השנייה (שהיא גם האורך של האנך שהורדנו) ולחלק ב-2. קיבלנו את הנוסחה S=bh2 - הנוסחה לשטח משולש - שלרוב פשוט מפילים על התלמידים משום מקום ואז נותנים להם לפתור תרגילים איתה. למה? למה להפיל אותה משום מקום, כשכל כך פשוט ויפה להראות איך מגיעים אליה? ההגעה אליה היא יותר מתמטיקה מאשר מאות תרגילים טכניים שבהם התלמידים "ישתמשו" בנוסחה הזו.

ועכשיו שימו לב שבהוכחה הזו השתמשנו בכל מני דברים – בכך שאנחנו בכלל מכירים מלבנים ומשולשים, ובכך שאנחנו יודעים שבמלבן הזוויות הן 90 מעלות, ובכך שאנחנו יודעים מה זה אנך, ואת הקטע הזה של לחלק ב-2, ועוד ועוד. אנחנו צריכים ידע ושליטה טכנית כלשהם כדי להבין מה הולך בהוכחה. אבל זו דוגמה ליישום יפה של הידע הזה. בבתי הספר נראה שזה לא ממש מה שקורה.

האם זו דוגמת מחץ שתשכנע אנשים שמתמטיקה היא יפה? כמובן שלא. אני מניח שרוב האנשים יסתכלו על הדוגמה הזו ועדיין יגידו "מה זה גועל הנפש הזה ואיך אתה אומר שהוא יפה?". אבל אני מאמין שיהיו גם אנשים שיגידו "שמע, עד עכשיו לא הבנתי על מה אתה מדבר, אבל עכשיו זה אולי טיפה יותר ברור".

בואו נראה כעת עוד דוגמה שבה מתרחש קסם דומה - אנחנו מתחילים מסיטואציה שנראית מסובכת וטכנית ופתאום, על ידי שינוי כלשהו בדרך ההתבוננות שלנו, הכל הופך לטריוויאלי. אם בחידה הקודמת הקסם הזה הושג על ידי הוספה של בניית עזר, היופי בחידה הנוכחית הוא שכאן הקסם מושג על ידי "העלמת" חלק מהמידע שלנו.

החידה היא כדלקמן: יש לנו שולחן צר וארוך, ועל השולחן הולכות נמלים (לא ידוע כמה יש, או מה המיקומים ההתחלתיים שלהן). הן לא מסוגלות לפנות הצידה, כי השולחן צר; לכן הן הולכות רק קדימה ואחורה. כששתי נמלים מתנגשות זו בזו, הן פונות לכיוונים ההפוכים (כלומר במקום קדימה כל אחת תלך אחורה), אבל פרט לכך הנמלים נעות כל הזמן בקו ישר. אם נמלה מגיעה לקצה השולחן היא נופלת.

אורכו של השולחן הוא מטר, ומהירות ההתקדמות של כל נמלה היא מטר לדקה. השאלה היא: מהו פרק הזמן המינימלי שאחריו מובטח שכל הנמלים יפלו מהשולחן?

 תרשים - חידת הנמלים

איך ניגשים לפתרון חידה שכזו?

המרצה שהכיר לי את החידה, פרופסור רון אהרוני (שהחידה מופיעה בספרו "שירה, מתמטיקה ויופי"), מציע בבעיה כזו (ובבעיות מתמטיות בכלל) לבדוק קודם את המקרים הפשוטים ביותר;

נניח שיש רק נמלה אחת על השולחן. כמה זמן נדרש כדי להבטיח שהיא תיפול?

אם היא מתחילה את הצעדה שלה בקצה הימני של השולחן ופניה מועדות שמאלה, יהיה עליה לעבור את כל השולחן לפני שתיפול, ולכן תידרש לה דקה. כלומר - פרק הזמן המינימלי הוא לפחות דקה.

עבור שתי נמלים הסיפור קצת יותר מסובך, כי יכולות להיות התנגשויות – ומצד שני, תהיה לכל היותר התנגשות אחת, כי אחריה הנמלים יפנו לכיוונים מנוגדים - כל אחת תפנה לאחור ותחזור את הדרך שעשתה ולכן הן ילכו עד לקצה השולחן ויפלו. שוב, אם הנמלים מתחילות בקצוות המנוגדים של השולחן, לא קשה לראות שהן ייפגשו באמצע, ואחר כך יחזרו כלעומת שבאו, את הדרך שבה הלכו עד שיפלו – ולכן שוב, נדרשת מקסימום דקה (ייתכן מאוד שחדי העין שביניכם הבחינו ברגע זה בפתרון הכללי!).

בקיצור, השערה סבירה היא שלא נצטרך יותר מדקה – זה גם "מרגיש" מתאים. אבל איך מוכיחים את זה? איך אפשר לנתח את המקרה הכללי אם לא יודעים כלום על מספר הנמלים או על המיקום שלהם? אפשר לראות שאם יש שלוש נמלים יכולות להיות שתי התנגשויות (הנמלה האמצעית תתנגש בשתי האחרות), וכבר אין לנו טיעוני "חצי הדרך" יפים כמו קודם. יותר מזה - כשיש n נמלים, מי יודע כמה התנגשויות יהיו, וכמה נמלים יסתובבו שוב ושוב ימינה ושמאלה, ולך תצא מזה.

בשלב הזה אני (ואולי גם אתם או התלמידים שלכם) נוטה לוותר על המשך פתרון החידה. הוא נראה לי טכני, מסובך, והכי חמור – לא מעניין. בטח משהו עם סכומים (ושונאי המתמטיקה יגידו: פתרון משוואות).

אלא שכאן נכנס הפתרון לתמונה, והוא מפתיע בפשטות שלו. נכון, להתעסק בכל המוני ההתנגשויות ושינויי הכיוון של הנמלים זה כאב ראש לא נורמלי; אם כן, למה לעשות זאת? האם חייבים לעשות זאת? האם הפרט הזה רלוונטי?

על פניו כן. הרי כל הרעיון בחידה הוא ההתנגשויות. אבל… חשבו רגע שוב על המקרה של שתי הנמלים. הן הלכו זו לעבר זו, התנגשו, פנו לאחור והמשיכו ללכת. מה היה קורה אם לא היו מתנגשות, אלא סתם עוברות זו על פני זו?

התשובה היא שהיה קורה אותו הדבר בדיוק. רגע לפני ההתנגשות היינו רואים נמלה אחת הולכת ימינה ואחת שמאלה, ורגע אחרי ההתנגשות עדיין היינו רואים נמלה אחת הולכת ימינה ואחת שמאלה. ההבדל הוא שאם הייתה התנגשות, הנמלה שהלכה ימינה מקודם, הייתה הולכת עכשיו שמאלה, ואם לא הייתה התנגשות, זו שקודם הלכה ימינה עדיין הייתה הולכת ימינה – אבל למי אכפת? הן פשוט החליפו ביניהן וכל אחת עושה את המסלול של השניה! אותו הדבר מתרחש גם במצב בו יש n נמלים - בכל התנגשות הן מחליפות את המסלול אחת עם השניה, ולכן למעשה אף מסלול לא יכול לקחת יותר מדקה.

כאן ביצענו הפשטה, התעלמות מפרט לא רלוונטי; מצאנו בעיה אחרת, שונה, ששקולה לבעיה המקורית שלנו בכל המובנים שמעניינים אותנו, רק שהיא הרבה יותר פשוטה. אם אין התנגשויות, אפשר לחשוב על מה שכל נמלה עושה לחוד – וכל נמלה פשוט הולכת בקו ישר עד שהיא נופלת, ולוקחת לה לכל היותר דקה לחצות את כל השולחן. לכן דקה היא מספיקה, וגמרנו את החידה.

כמו בחידה הקודמת, כך גם בנוכחית, החידה איננה גימיק או תעלול שאינו משקף את המתמטיקה; מה שקורה בחידה הוא המחשה מצויינת לדרך העבודה המתמטית. זהו כמעט חוק טבע במתמטיקה שהפשטה מסייעת לנו להתמודד טוב יותר עם בעיות קונקרטיות. זה גם לטעמי הדבר שחסר ביותר במתמטיקה בית ספרית - התלמידים לומדים לבצע חישובים טכניים, אבל רואים מעט מאוד הפשטות, וגם כשהם רואים כאלו (שהרי מהי משוואה אלגברית אם לא הפשטה של פתרון בעיות חשבוניות מספריות), הם לאו דווקא מבינים מה הם רואים.

הצד השני של המטבע הוא שהפשטה עלולה להיות דבר קשה מאוד להבנה, ועל פי רוב נדרשת היכרות טובה עם הסיטואציות שאותן ההפשטה מנסה ללכוד, לפני שניתן להבין ולהשתמש בקלות בהפשטה. מן הסתם אני לא מציע, חלילה, להתחיל את לימודי המתמטיקה מתורת הקטגוריות!

אני מקווה שהדוגמאות הללו גרמו לכם להאמין שאפשר גם ללמד מתמטיקה בדרך יפה, מעניינת וחכמה. דוגמאות נוספות אתם יכולים למצוא בבלוג שלי - לא מדוייק, וכפי שאחת המורות היטיבה להסביר בשיח ובדברים סביב הכתבה הקודמת - גם במקומות נוספים ברשת.

--

הכתבה הינה חלק מפוסט שהופיע לראשונה בבלוג לא מדוייק.