סיפור מהחיים: כוחה של המתמטיקה היישומית

מי לדעתכם אמר למי את האמירות הבאות ובאיזה הקשר:

• "אחד הדברים שמאוד מאוד מפריעים לי הוא שהמתמטיקה שמלמדים בתיכון לא קשורה לחיים בכלל. היא לא נראית כשום דבר שיש לו ערך".
• "יש מין מחשבה שהמתמטיקה זה תחום פילוסופי שלא קשור למדע ולא קשור לטכנולוגיה ולא קשור לכלום. בעיניי זה פשוט לא יכול להיות".
• "ראינו צורך להראות את הקשר בין המתמטיקה לבין תחומי ידע אחרים לבין עולם היום יום. לשכנע שמתמטיקה זה לא משהו אבסטרקטי, שהיא ממש עוזרת בחיים".

חלקכם אולי יופתעו לשמוע שאמירות אלה ודומות להן לא נאמרו על ידי תלמידים או מורות, אלא על ידי מתמטיקאיות ומתמטיקאים, במסגרת מחקר שערכו הופמן ואבן, במענה לשאלה מה הם רוצים ללמד מורים בבית הספר העל-יסודי על המתמטיקה.

האמירות האלה משקפות פער מהותי שקיים כיום בין המקום של מתמטיקה יישומית בתחום הדעת שהוא מתמטיקה, לבין המקום שלה בפועל בשיעורי המתמטיקה בבית הספר. מתמטיקה יישומית, המקשרת בין מתמטיקה לתחומים אחרים (למשל, פיזיקה, ביולוגיה, הנדסה וכלכלה), היא ענף חשוב במתמטיקה. ישנו מספר הולך וגדל של נושאים במתמטיקה יישומית במחקר שעורכים מתמטיקאים ומתמטיקאיות באוניברסיטאות מובילות בארץ ובעולם. לעומת זאת, בשיעורי המתמטיקה בבית הספר כמעט שאין זכר למתמטיקה יישומית. תכנית הלימודים וספרי הלימוד מציגים כמעט רק את הפן התיאורטי או העיוני של המתמטיקה, וכך גם תוכניות ההכשרה של המורים.

הקשר בין מתמטיקה לתחומים אחרים

הקשר של מתמטיקה יישומית לתחומים אחרים הוא דינמי ודו-כיווני: רעיונות, מושגים ושיטות מתמטיות משמשים לפתירת בעיות בתחומים שונים; לצד זאת, התפתחות של תחומים אחרים מעלה בעיות מתמטיות שהעבודה על פתרונן מקדמת ומפתחת את המתמטיקה.

הכיוון ממתמטיקה אל תחומים אחרים מקבל בשנים האחרונות יותר ויותר תשומת לב במערכות החינוך המתמטי במדינות שונות (למשל גרמניה). במגמה זאת תומך הדגש המושם לאחרונה על אוריינות מתמטית בהקשר של רלוונטיות לחיים (למשל, במבחן הפיז"ה), ששם במרכז את השימוש במתמטיקה כדי לנתח, לבקר ולהעריך מצבים נתונים בעולם הממשי ולקבל לגביהם החלטות מושכלות.

מכרטיס לג'ימבורי ועד עפיפונים

איך בונים את העפיפון בעל השטח הגדול ביותר מחומרים נתונים? איפה למקם שחקנים ב״משחק הדגל״? האם לקבל את הפיצוי המוצע על הפקעת קרקע? בכמה כדאי לתמחר כרטיס לג׳ימבורי? אלו הם חלק מהמצבים שיחידות ההוראה בתוכנית "לחשוב רחוק עם מתמטיקה" מציבות בפני תלמידים, שכדי לקבל לגביהם החלטות מושכלות כדאי להשתמש במתמטיקה. יחידות ההוראה בתוכנית בנויות כסיפור בהמשכים, כשהפן הסיפורי והפן המתמטי שזורים לכל אורך פרקי הסיפור. הדמויות בסיפור נתקלות בבעיות בהקשר של העולם הממשי, ושימוש במתמטיקה תורם לפתרון הגיוני בהקשר של הסיפור. הנה הצצה לעיקרי היחידה "גיוס כספים", שתדגים את כוחה של המתמטיקה היישומית בתוך המציאות היומיומית.

1. היכרות עם הסיטואציה – גיוס כספים עם ג׳ימבורי

היחידה נפתחת בתיאור החלטת תלמידי בית ספר תל-קשיש לשכור ג'ימבורי ולהפעיל אותו בחצר בית הספר תמורת תשלום, במטרה לגייס כספים לשיפוץ בתי קשישים עריריים בשכונה. לאחר ששקלו יתרונות וחסרונות של חבילות ג׳ימבורי שונות (איור 1), התלמידים החליטו לשכור את החבילה בעלות 1,020 ש״ח, ולהציע לוועדי עובדים של חברות גדולות לקנות במרוכז כרטיסים עבור ילדי העובדים.

איור 1 – מודעת השכרה של חבילות ג׳ימבורי, מתוך היחידה ״גיוס כספים״, לחשוב רחוק עם מתמטיקה

כדי לחזק את הקשר לעולם הממשי, שלב ההיכרות עם הסיטואציה כולל הבהרת ההקשר, היבט שלעיתים קרובות חסר בשיעורי מתמטיקה מסורתיים.

• אילו שיקולים קשורים לבחירת חבילת ג׳ימבורי? (לדוגמה: מספר המתקנים בהתאמה לגודל המתחם המיועד, מספר משתתפים צפוי, הכנסה מבוקשת, עלות ההשכרה, סיכון להפסד כספי, אפשרויות לכיסוי ההפסד, ועוד).

2. השפעת שיטת תמחור הכרטיסים על ההכנסה

המשך הסיפור מציג דיון שקיימו חמישה תלמידים בנוגע לתמחור כרטיס לג׳ימבורי, שבסופו הם מחליטים: (א) להגביל את מספר המשתתפים ל-200 כדי להימנע מעומס, (ב) להציע את שיטת התמחור הבאה. שיטת התמחור תוכננה לעודד קנייה מרוכזת של כמות גדולה של כרטיסים, בהנחה שככל שיימכר מספר גדול יותר של כרטיסים - ההכנסה תגדל.

מחירון כרטיסים לג׳ימבורי:

• בהזמנה מינימלית (30 כרטיסים): מחיר כל כרטיס הוא 34 ש״ח.
• בהזמנה של 31-200 כרטיסים: כל כרטיס מעל 30 כרטיסים יזכה בהנחה של 20 אג׳ עבור כל הכרטיסים (כולל ה-30). לדוגמה:
  • בהזמנת 31 כרטיסים, מחיר כל כרטיס הוא 33.80 ש״ח.
  • בהזמנת 32 כרטיסים, מחיר כל כרטיס הוא 33.60 ש״ח.

3. האם אפשר להגיע להכנסה של 2,020 ש״ח?

בבירור שערכו התלמידים התברר שהחומרים לשיפוץ הבתים עולים 1,000 ש״ח, ולכן הם זקוקים להכנסה של 2,020 ש״ח (אפשר להראות שלא ניתן להגיע להכנסה זאת, למשל, בעזרת שיעורי נקודת קיצון, או פתרון משוואה, או שרטוט גרף פונקציה מתאימה).

4. כמה כרטיסים צריך למכור כדי להגיע להכנסה של לפחות 1,820 שקלים?

התלמידים מחליטים לבדוק אפשרות להוזלת עלות החומרים לשיפוץ ומוצאים שניתן להסתדר גם עם רווח של 800 ש״ח. שני תלמידים מתנדבים לבדוק כמה כרטיסים צריך למכור כדי להגיע לרווח זה ונעזרים לשם כך בפונקציות. כל אחד מהם מגדיר את המשתנה בדרך אחרת, ולכן המודלים המתמטיים שבנו נראים אחרת ונותנים תוצאות שונות מבחינה מספרית (ניתן להראות ששניהם נותנים פתרון זהה בהקשר של הסיפור למשל, באמצעות אי-שוויון או משוואה בשילוב גרף).

איור 2 – מתוך היחידה ״גיוס כספים״, לחשוב רחוק עם מתמטיקה

5. הכנת הצעה חדשה לוועדי העובדים

יש להכין הצעה חדשה לארגון יום כיף עם ג׳ימבורי, כך שיישאר לתלמידי בית ספר תל-קשיש מספיק כסף לקניית החומרים הדרושים לשיפוץ בתי הקשישים.

---

כפי שהודגם למעלה, המתמטיקה היישומית מזמנת התמודדות עם פתרון בעיות מורכבות המוצגות בהקשר של העולם הריאליסטי. כלומר, ההקשר לקוח מהמציאות או שניתן לדמיין אותו, והוא מספק סיבה הגיונית לעשיית מתמטיקה, שכן הפתרון המתמטי תורם ומועיל לדמויות בסיפור. הבעיות בהן נתקלות הדמויות ניתנות לפתרון בדרכים מגוונות תוך שימוש בתחומים שונים, כמו אלגברה, פונקציות וגיאומטריה. זאת תוך שימת דגש על פיתוח מיומנויות של מידול מתמטי והוכחה מתמטית, הנדרשות ללימוד מתמטיקה ברמת 5 יח״ל.

רוצות.ים להכיר יחידות נוספות של "לחשוב רחוק עם מתמטיקה"? מוזמנות.ים לבקר.