להקשיב לשטח
לפני מספר שנים, כאשר התחלתי להישאב מתוך עולם ההייטק אל תוך עולם החינוך ולעבור לתחום ההוראה, התלבטתי לגבי העדפותיי בנוגע לחינוך מתמטי. מחד, תמיד חיבבתי את המתמטיקה השובבה, היפה והחידתית, ומאידך, אחרי שנים בצוותי אלגוריתמים בחברת "מובילאיי", נחשפתי לאפקטיביות של המתמטיקה בעולם הטכנולוגי. מה מקנה למתמטיקה את מעמדה המיוחד? האם העובדה שהיא כל כך שימושית בתחומי דעת רבים ונוכחת ביומיום שלנו או שמא היא מיוחדת באסתטיקה שלה ובעצם עומדת בפני עצמה, כמו אמנות, למשל?
תלמידים רבים שואלים בשביל מה בעצם אנחנו לומדים מתמטיקה? איך הידע הזה קשור לחיים שלנו? במהלך חודש אוגוסט אלמד במכינת הקיץ "מתמטי+טק", מכינה שתפגיש את התלמידים עם מתמטיקה של העולם האמיתי. היא מיועדת לבוגרי ובוגרות כיתות ט' שלמדו בהקבצה א' או במסלולי מצוינות ומטרתה לחשוף אותם לשימושים המגוונים של המתמטיקה בחיים האמיתיים ובהייטק. הם יפתרו בעיות מורכבות, ייפגשו עם יזמים מחברות ההייטק המובילות ויבינו איך החומר המתמטי מתחבר לחיים ולעתיד שלהם.
במהלך החיפושים אחר חומרים מעניינים, התברר לי שהרשת מלאה בדוגמאות למתמטיקה יפה ושימושית ורק צריך לדעת ללקט אותן ולהשתמש בהן בהקשר מתאים. אציין כאן כמה דוגמאות שמצאו חן בעיניי ושניתן ללמד אותן ברמות העמקה שונות. חלקן קשורות מאוד לחומר הלימודים וחלקן מהוות העשרה, שיכולה להתאים אגב לכל הרמות ולא רק לתלמידים מצטיינים.
לפניכם 5 רעיונות שאספתי, שיכולים לחבר גם את התלמידים שלכם לשימושים הפרקטיים של המתמטיקה בעולמנו, בדרך של משחק וגירוי הסקרנות שלהם.
1. יותר עגול או יותר ארוך?
במהלך כיתה ז' אנו נחשפים לפאי ולנוסחה של היקף המעגל. עד כמה אנחנו חשים את הנוסחה מבחינה כמותית? בתמונה מופיעים מספר חפצים גליליים. לגבי כל אחד מהם, נסו להעריך מה יותר גדול - ההיקף של בסיס הגליל או שמא גובהו של הגליל? על המשחק הזה קראתי בספרו החביב מאוד של מאט פארקר - "דברים לעשות במימד הרביעי" (מומלץ. יש שם הרבה רעיונות מעניינים).
אם תערכו חידון כזה לעצמכם ולאחרים (זה ממש פשוט. מביאים כמה חפצים גליליים מהבית וסרט מדידה, מנחשים ואז מודדים), תופתעו מאוד לראות עד כמה האינטואיציה שלנו רחוקה מן המציאות. זו בעיניי פעילות שיכולה לסקרן את כולם וגם להעמיק במשהו את ההבנה שלנו בנושא המעגל.
2. מדידות בעולם ובכיתה שלכם
רצף הרעיונות הבא מכיל 3 סיפורים מעניינים העומדים בזכות עצמם, אבל כמכלול, מדובר על מערך בעל ערך היסטורי ואפילו ערך חינוכי ערכי. היום, בעידן הלוויינות והסלולר, מדידת מרחקים היא עניין של מה בכך (כלומר, מסתתרת כאן מתמטיקה די פשוטה להבנה, אבל מהמודד בפועל לא נדרשת מיומנות מיוחדת).
לפני כמה מאות שנים נדרשה מיומנות רצינית לשם כך ורק לשם ההמחשה, פרוייקט המדידה של הודו נמשך עשרות שנים ובריטניה השקיעה בו יותר משהשקיעה בכמה מלחמות באותה תקופה. בסופו של דבר, התהליך הסתכם (בערך) בתשתית של מקלות, מד זווית משוכלל ושימוש מושכל במשפט הסינוסים. התהליך הזה מפורט בחן רב בספר הנפלא Grapes of Math מאת Alex Bellos. דרך אגב, המודד הראשי בפרויקט נקרא George Everest. אם השם נשמע לכם מוכר, זה כיוון שההר קרוי על שם המודד שלו.
אם נרחיק לכת עד לעת העתיקה, ניתקל בארטוסתנס, שהשתמש במדידות של צעדי אדם, מד זווית פשוט, באר עמוקה, יום קיץ בהיר וגיאומטריה של כיתות ז'-ח' (וגם במוח יצירתי להפליא), כדי להעריך די במדויק את היקף כדור הארץ. זהו הישג מרשים מאוד, שניתן לקרוא עליו בבלוג המצוין, לא מדויק או בסיוע מגוון סרטונים, למשל כאן:
הנחישות של הבריטים ושל ארטוסתנס היא בעיניי מעוררת השתאות. התלמידים יכולים לחוש עד כמה משמעותית ההתקדמות המתמטית להתקדמות הטכנולוגית ועד כמה יכולים רעיונות תיאורטיים לסייע בפתרון בעיות ארציות.
3. טבעת מביוס: קישוטים לסוכה והקשר למוזיקה ולאמנות
לפעמים היופי המתמטי מפתיע מאוד. טבעת מביוס היא בסך הכל רצועה, שכשחיברו את קצותיה ליצירת טבעת, הפכו אחד מהם. מהטבעת הזו אפשר לעשות מטעמים.
אפשר פשוט לצפות ולהנות בסרטון כאן למטה ואפשר גם להתענג מהגאונות המוזיקלית-מביוסית של באך או להתבלבל מהציורים של אשר (Escher).
החומר המתמטי הפורמלי שנוגע לטבעת מביוס נלמד בקורס שנה ג' באוניברסיטה (טופולוגיה), אבל כל תלמיד בכל רמה ומכל רקע זכאי להיחשף לרובד מסוים של היופי הזה.
4. מונטה קרלו: המחשב בשירות המתמטיקה
לפעמים המתמטיקה מעוניינת להתפנק. מספיק לשרת את כולם - בא לה לקבל סיוע מהילדים. מדעי המחשב הם צאצא ישיר של המתמטיקה ויכולים לסייע לה. לפעמים יש במתמטיקה בעיות סבוכות למדי. למשל, מה סיכוי שבכיתה אחת ישבו 30 תלמידים שלפחות ל-3 מהם יש את אותו תאריך יום ההולדת? זו בעיה לא קלה לפתרון, אבל אם היו לפנינו 10,000 כיתות כאלה והיינו יודעים בכמה מתוכן מתקיים התנאי, אז בעצם היינו יודעים (בערך) את התשובה. המחשב יכול לבוא לעזרתנו. סימולציה קטנה וסיימנו.
כמה שווה פאי? זו שאלה קלה. ארכימדס כבר חישב עבורנו ואחריו שיפרו עוד רבים את התוצאה, אבל נניח לרגע שאנחנו מעוניינים להעריך בעצמנו את הגודל. נגריל מיליון נקודות בתוך ריבוע. נקודות (x,y), כך ש-x הוא בין מינוס 1 ל-1 וגם y בין מינוס 1 ל-1.
בציור שלמעלה מופיעות 20,000 נקודות וכמובן שאפשר להגריל הרבה יותר. אנחנו יודעים ששטח הריבוע הוא 4 יחידות שטח. אנחנו יודעים שרדיוס המעגל הוא 1 ולכן שטח המעגל הוא פאי יחידות שטח. על פי היחס בין מספר הנקודות הירוקות לכלל הנקודות נקבל הערכה ליחס השטחים, ונחשב את פאי. מדובר במעט מאוד שורות קוד בשפת python ובשנה הקרובה אני מתכנן ללמד את תלמידי כיתה ט' להגיע לרמת תכנות שתאפשר לפתור את הבעיה הזו במסגרת שיעורי הסתברות.
דרך אגב, את שיטת מונטה קרלו המציאו במסגרת פרויקט מנהטן לייצור פצצת האטום הראשונה, וגם זה סיפור מעניין.
5. ממשחק לחשבון מודולרי ולוגיקה של מחשבים
מורים רבים למתמטיקה משלבים משחקים בשיעוריהם. כך ניתן להפיג את המתח ולרתום יותר תלמידים להשתתף בשיעור. המשחקים אליהם אתייחס כעת אינם משחקים המהווים אריזה לתוכן מתמטי (כמו חדר בריחה עם שאלות מתמטיות), אלא הם מתמטיקה לכל דבר, בתחפושת של משחק.
הקסם הבא ממש הלהיב את התלמידים, כי הוא באמת נראה כמו קסם. המשתתף בוחר מספר בין 1 ל-63 ומראה ל"קוסם" את הקלפים בהם נמצא המספר. הקוסם מעיף מבט בקלפים ומכריז מיד מהו המספר עליו חשב המשתתף.
כדי לבצע את הקסם, לא צריך להתאמץ יותר מדי. המספר המבוקש הוא פשוט סכום המספרים הכתובים בפינה השמאלית העליונה של הכרטיסים. למשל, אם אני יודע שהמספר נמצא בכרטיס 1, כרטיס 2 וכרטיס 5, אז המספר הוא 2+4+32=38. ממש פשוט.
כדי להבין למה הקסם עובד, חייבים לדבר על ייצוג בינארי של מספרים ואז ניתן גם להשתמש באפליקציה להמרה בין בסיסים. למשל, המספר 38 בבסיס עשרוני הופך ל-100110 בבסיס בינארי. אם נסתכל מימין (מקום 0) לשמאל, נראה שהספרות שהן "1" נמצאות במקומות 1,2,5 - ממש כמו הקלפים שבהם נמצא המספר 38. בעצם, בקלף CARD 0 מופיעים כל המספרים בין 1 ל-63, שבהם הביט הימני הוא 1. בקלף CARD 1 מופיעים כל המספרים בין 1 ל-63, שבהם הביט השני מימין הוא 1 וכן הלאה.
אפשר לעצור כאן (יהיו תלמידים שייהנו מהקסם ויהיו כאלה שגם יבינו את הקטע המתמטי) ואפשר להמשיך גם צעד אחד קדימה - למשחק נים (Nim). נים הוא משחק עתיק וממש כמו ב"איקס עיגול", קיימת אסטרטגיה לשחק אותו נכון (שנוסחה רק בתחילת המאה ה-20).
אתם מוזמנים לשחק ביישומון הזה ולהתרשם או לחפש את היישום החביב עליכם. מתברר שהסוד כאן הוא לדעת איך נראים ייצוגים בינאריים של מספרים. למרות שהאסטרטגיה מובנת, היא לא טריוויאלית. שמחתי לראות תלמידים משחקים נים בהפסקה, אבל חשוב לומר שפעילות זו לא מתאימה לכל אחד, כיוון שהיא דורשת יכולת חישוב מצוינת.
מה שראינו כאן הוא דוגמאות לשימושים בחשבון בינארי, שהוא בעצם רכיב קריטי להבנה של אופן הפעולה של מחשבים. לכן, מי שמבין דוגמאות אלה גם ירוויח עוד דוגמאות למשחקיות של המתמטיקה וגם יבין טוב יותר בעתיד כיצד פועלים מחשבים.
