במתמטיקה - לא משאירים איש מאחור

במאמר הקודם שלי ניסיתי לסקור ולדון בביקורות פופולאריות על הוראת המתמטיקה בתיכון. המסקנה העיקרית שלי, לפחות מהביקורות הללו, היא לא שיש להפסיק את הוראת המתמטיקה בבית הספר, אלא לנסות ולהפוך את לימודי המתמטיקה ליותר נגישים ולכאלו שרוב התלמידים יוכלו להתמודד עמם מבלי לחוש חסרי יכולת ומבלי שהלימודים יהיו מצלקים.

השלב הראשון בעשייה לשם כך הוא חשיבה עמוקה ומחודשת על אופן הלימוד והיחס למתמטיקה, אך בכך כבר דנתי כאן וכאן. הפעם אני רוצה לדבר על הנושאים הנלמדים במתמטיקה התיכונית וחשוב מכל - על התנאי הבסיסי לכך שיהיו לימודי מתמטיקה נגישים בתיכון.

נתחיל בתנאי הבסיסי; על מנת שלימודי המתמטיקה בתיכון יהיו נגישים לכל התלמידים: הכרחי להבטיח שתלמידים לא מגיעים לתיכון כשהם כבר "שרופים" מבחינת המתמטיקה.

הדבר הכרחי משום שהמתמטיקה היא באופן כללי תחום שבו חומר הלימוד בנוי בשכבות, כך שכל שכבה נזקקת לקודמותיה באופן קריטי. מי שאינו שולט בחיבור, לא יוכל לבצע כפל; מי שלא יודע לבצע כפל, יסתבך עם שברים ואחוזים; מי שמסתבך עם שברים יכול לשכוח מפתרון משוואות בנעלם אחד; מי שלא יודע לפתור משוואות בנעלם אחד, יכול לשכוח מחדו"א.

תלמיד שאינו שולט בשכבות הבסיס פשוט יאבד את הדרך, וככל שהזמן והחומר בכיתה מתקדמים – יהיה לו הרבה יותר קשה להשלים. יתרה מזאת – לתלמידים כאלו יהיה קשה ביותר ללמוד כל מקצוע מדעי אחר שנזקק למתמטיקה.

מי שמגיע לתיכון כשהוא "שרוף" מבחינת מתמטיקה – כלומר חסרות לו כמה וכמה שכבות בסיס – יחווה את המקצוע כבעייתי, קשה ואף בעל השלכות קשות על תעודת הבגרות שלו, ככל הנראה. המצב רק יחמיר במידה והתלמיד אינו מגיע מרקע סוציואקונומי שיאפשר להוריו להקנות לו את הידע הזה בקנייה, ו/או שמי מהמורים בבית הספר יאתר את התלמיד ויסייע לו להשלים את שכבות הבסיס.

מי שמגיע לתיכון כשהוא "שרוף" מבחינת מתמטיקה – יחווה את המקצוע כבעייתי, קשה ואף בעל השלכות קשות על תעודת הבגרות שלו 

אז איך נבטיח שכל התלמידים יגיעו לתיכון עם  הידע הנדרש?
התשובה הראשונה היא "מורים טובים". אין ממש מה לעשות בנוגע לכך – מורים טובים הם הדבר החשוב ביותר במערכת החינוך. גם תוכנית הלימודים הטובה ביותר כנראה לא תעבוד אם המורה שמעביר אותה עושה את זה רע.

אבל אין מה לעשות, לא תמיד, לא בכל בית ספר ובכל כיתה יהיו מורים טובים – הדבר עלול לקרות ומבחינתי זו הנחת בסיס.

לכן צריך לדאוג לתלמידים ל"רשת ביטחון" כלשהי. דרך כלשהי לסייע לתלמידים ללמוד מתמטיקה בלי להיות תלויים במורה זה או אחר. מה שכיום מושג על ידי מורה פרטי עבור חלק מהתלמידים, ספציפית כאלו שהוריהם יכולים להרשות דבר כזה; אבל כמובן מורה פרטי רק למי שיכול, הוא בדיוק האפקט שאנחנו לא רוצים. חייבים שיהיה פתרון שיעבוד, או לפחות יהיה זמין לכולם. ספרים ולומדות ממוחשבות לעבודה עצמית נשמעים כמו דבר סביר, אבל איך מכריחים את התלמידים לעשות אותם? זה עדיין ידרוש פיקוח מצד בית הספר.

הייתי רוצה לומר שאפשר לגרום לתלמידים להתעניין באופן עצמאי, אבל האם אפשר לעשות כזה דבר בכלל? הנה לכם אתגר: האם אפשר לגרום לתלמידים בגילאי יסודי וחטיבת-ביניים להתעניין במתמטיקה שהם לומדים? אני לא יודע; עבורי הגילאים הללו הם חור שחור. מי שכבר הרים את הכפפה, היה פרופ' רון אהרוני מהטכניון, שכתב ספרי "חשבון להורים" ו"אלגברה להורים" שמאפשרים להורים עצמם להיות רשת ביטחון עבור הילד. הספרים הללו היו הצלחה יחסית; ייתכן מאוד שזה בדיוק הכיוון שבו צריך ללכת.

כיוון אחר הוא לומדה ממוחשבת – בימינו זה יהיה אתר אינטרנט (בתקווה שנגיע יום אחד, בקרוב, לכך שלכל התלמידים תהיה גישה לאינטרנט, לכל הפחות מבית הספר), משהו בסגנון Khan Academy אולי? צריך שיהיו בו סרטונים, מלל כתוב ותרגילים אינטראקטיביים. וכמובן, הכל בעברית ומתאים לישראל. רצוי גם שיהיה כיפי ומעניין. כל זה אפשרי, בתיאוריה; בפועל מישהו צריך להרים את זה ולקדם את זה ולהפוך את זה לסטנדרט. במידה מסוימת המאמץ כבר התחיל בישראל (כפי שניתן לראות כאן), אך הדרך עוד ארוכה.

לגרום לתלמידים להתעניין באופן עצמאי ולהביא אותה עד אליהם - באינטרנט ואפליקציות לסלולרי

לסיום - כמה מילים על נושאי הלימוד
לסיום אני רוצה להגיד שכן. אולי צריך לשנות גם את תוכנית הלימודים. אבל כשבאים להציע הצעות כאלו, אנחנו מתנהגים כמו פיל בחנות חרסינה. יש סיבות ללמה דברים נמצאים בתוכנית הלימודים, ואנחנו לרוב מציעים גזור-העתק-הדבק גסים שלא לוקחים בחשבון את הסיבות הללו. זה לא אומר שלא עושים את זה – השמועות שאני שומע הן שתוכנית הלימודים בישראל אכן הולכת לקראת שינוי כלשהו.

אם בכל זאת הייתי נותן דרור לדמיון ומעלים עין מההשלכות, נראה לי שהדבר הראשון שהייתי חושב לשנות הוא את לימודי החדו"א בבתי הספר. כרגע החומר נלמד ברמה מאוד נמוכה ומאוד טכנית, ואני לא בטוח עד כמה זה הכרחי אפילו בתור הכנה לאוניברסיטה. האם ניתן ללמד חדו"א בצורה יותר רצינית, עם יותר דגש על הבנה של המושגים (הקשים) שבבסיסו, מבלי להגדיל את הקושי הטכני? שאלה טובה.

תחומים נוספים שלדעתי צריך לשנות, אולי לקצץ, הם גאומטריה אוקלידית וטריגונומטריה – שניהם חשובים מאוד, אבל מסיבות שונות. טריגונומטריה היא כלי טכני בסיסי שמשתמשים בו בכל תחומי המתמטיקה, אבל הוא גם דוגמה קלאסית לסיפור רהיט האיקאה שהבאתי קודם – בתיכון לא ממש עושים בו שימוש, אלא רק מתאמנים על לסובב שוב ושוב ושוב את המברג, עם שלל נוסחאות מפחידות למראה שלאף אחד לא ברור מאיפה הן הגיעו. גאומטריה אוקלידית היא סיפור שונה לגמרי, כי היא אולי התחום היחיד שדורש יצירתיות כלשהי ומלמד את התלמידים איך נראית הוכחה מתמטית אמיתית, ואלו דברים חשובים ביותר – אבל אלו דברים שלטעמי צריך לראות בתחומים רבים יותר, ומתישהו הגאומטריה ממצה את האפקט הזה שלה ואנחנו נשארים שוב עם ערימה גדולה של משפטים שצריך להכיר ולא יהיו שימושיים יותר מדי לשום דבר בהמשך.

והאם צריך להוסיף משהו? יש שני תחומים שקופצים לי מיד לראש – תורת הקבוצות, וחשבון מודולרי. בשני המקרים צריך להיות מאוד זהירים – אם מלמדים את תורת הקבוצות צריכים להיות מאוד קונקרטיים ולחלוטין לא להציג אותה בתור "הבסיס למתמטיקה" או כל מני דברים דומים שאין בהם שום טעם בשלב הזה. עדיין, אני מאמין שאפשר להסביר מושג כמו יחס שקילות כבר בתיכון (בפרט אם לומדים חשבון מודולרי, שם הוא צץ מעצמו), ואפשר אפילו להסביר את האלכסון של קנטור.

האם אפשר גם לבחון על הנושאים הללו? שאלה קשה יותר. בחשבון מודולרי אני מאמין שאפשר להסביר נושאים כמו האלגוריתם האוקלידי ומשפט השאריות הסיני ואולי אפילו להגיע לתיאור משהו כמו RSA. האם התחושה שלי מבוססת? קשה לי לדעת. כבר שמעתי סיפורי זוועות על נסיונות ללמד את תורת הקבוצות בבתי הספר וכישלונות חרוצים של הניסיון הזה. אבל האם זה נבע מאופי ספציפי של אופן הלימוד, או מכך שתורת הקבוצות היא חומר "בלתי נגיש" לתלמידי תיכון? לא יודע. זה מצדיק דיון רציני שעומד בפני עצמו; כרגע אני סתם זורק רעיונות.

הפוסט הזה, כאמור, אמור לשמש בתור נקודת התחלה, לא סיום. אני מתאר את המצב כפי שאני מבין אותו – ואני מבין היטב שאני לא באמת מבין אותו עד הסוף. האם ניתן להשתמש בנקודת ההתחלה הזו כדי להגיע אל משהו? תגידו לי אתם.

מה אתם עושים על מנת שכל התלמידים שלכם יהיו בקיאים בכל שכבות הידע של המתמטיקה? מה הייתם רוצים להוריד מהחומר ומה להוסיף? מורים בתיכון ובחטיבת ביניים – באילו פתרונות אתם משתמשים ומוצאים אותם יעילים? 

--

הכתבה הינה חלק מפוסט שהופיע לראשונה בבלוג לא מדוייק.