על מה אנחנו מדברים כשאנחנו מדברים על הוראת מתמטיקה?

מאת: אמיר דוד

בסיפור הקצר "על מה אנחנו מדברים כשאנחנו מדברים על אהבה" מאת ריימונד קארבר, נפגשים שני זוגות לארוחת צהריים נעימה בשבת רגועה. כל זוג מפגין חיבה זה אל זו, מילות אהבה נצחיות, רגשות עמוקים. ובכל זאת, משהו באידיליה הזו צורם להם. הם נזכרים שאך לפני שנה הם היו כל אחד בזרועות אחר, מפגינים רגשות דומים ונשבעים באהבתם לנצח. ואז עולה השאלה: "על מה בעצם אנחנו מדברים כשאנחנו מדברים על אהבה?"

כיתת תלמידים בשיעור מתמטיקה. הם פותרים תרגילים. חיבור, חיסור, העברת אגפים, מכנה משותף, כפל בהצלבה. כל זה נשמע מאוד מוכר ומתאים לסיטואציה, למידת מתמטיקה, כאילו ברור לכל שאלו המרכיבים הטבעיים ביותר של המקצוע. ובכל זאת, האם על זה אנחנו מדברים כשאנחנו מדברים על מתמטיקה?

הכתבה הראשונה, אמאל'ה מתמטיקה, עסקה בחשיבותה של "אקולוגיה" נעימה ובטוחה ללמידה; עיקרון האי שיפוט. בכתבה זו נצלול לעומק הדיסציפלינה: מה זה אומר ללמוד מתמטיקה? מתמטיקה היא שפה מופשטת העוסקת ברעיונות מופשטים. הפלאי שבה הוא האפשרות של שפה זו לומר לנו משהו על המציאות בצורה מדויקת והחלטית. מכנה משותף, למשל, הוא רעיון מופשט לחלוטין; הוא אינו קיים במציאות. ובכל זאת, כשאנחנו נעזרים במכנה משותף אנחנו יכולים להגיע למסקנה או פתרון שתהיה לו משמעות חשובה על עולמנו ועל איך אנו מבינים אותו. מניסיוני כמורה, כל זה זר כמעט לחלוטין לתלמידים. מכנה משותף, וזו רק דוגמא מני רבים, הוא טכניקה עבור תלמידים, ותו לא. טכניקה שעוזרת לתלמידים להגיע לפתרון, שהוא מבחינתם הגביע הקדוש של המתמטיקה. יש לא מעט תלמידים שלא מבינים את הטכניקה הבסיסית הזו לעומק, אך כל עוד היא עובדת ומצליחה לעזור להם להגיע לפתרון, הם, ולעתים רבות גם מוריהם, מסופקים. למידת המתמטיקה כלמידת טכנאות. רבים מהתלמידים שמגיעים להישגים טובים בטכנאות, פוגשים תקרת זכוכית כשהם נדרשים ללמוד מתמטיקה מופשטת ברמת 5 יחידות בתיכון.

תלמיד ניצב מול אתגר. תרגיל מורכב במתמטיקה. הוא רוצה להצליח. חשוב לו להצליח. להוריו חשוב שהוא יצליח. הוא מגיע לתשובה, ובזריזות הוא מדפדף לעבר הדפים האחרונים בספר, לרגע המיוחד, המזוקק ביותר בלמידת מתמטיקה: השוואת תשובותיו עם פתרונות הספר. יש!!! הצלחתי!!! אבל על מה אנחנו מדברים כשאנחנו מדברים על הצלחה במתמטיקה?

בספר "הדוד פטרוס והשערת גולדבך" (מאת דוקסיאדיס) פונה הנער להתייעץ עם דודו הזקן על לימודי מתמטיקה באקדמיה. דודו מציב לו שאלה מתמטית כאבן בוחן להתאמתו ללימודי מתמטיקה:

"הוכח שכל מספר זוגי הגדול מ-2 הוא סכום של שני מספרים ראשוניים".

הנער מנסה את כוחו בהוכחת המשפט, מבלי לדעת שזו אחת הבעיות המתמטיות המפורסמות ביותר, שטובי המתמטיקאים, כולל דודו פטרוס, כילו את זמנם בניסיון להוכיח אותה (לצורך קידום מכירות, בעת פרסום הספר הכריזה ההוצאה לאור על פרס בסך מיליון דולר למי שיוכיח את ההשערה. עד לרגע זה המשפט לא הוכח, וייתכן שאף פעם לא יוכח, לפי משפט אי-השלמות של גדל). כמובן שהנער נכשל. האם מדובר בדוד רע ואכזר? תכלית האתגר שהציב הדוד שונה לחלוטין. היא לא תכלית בינארית, של הצלחה (מיוחלת וטובה) מול כישלון (רע). תכליתו היא לגרום לנער להבין כי מתמטיקה אינה עוסקת בהצלחות ובהצלחות בלבד, אלא בעיקר באתגרים ובכישלונות. הדוד רצה לבדוק עד כמה הנער יכול להכיל כישלון כקריטריון חשוב להתאמתו ללימודי מתמטיקה. מתמטיקאי טוב הוא לפני הכל אדם המוכן לקבל כישלון, ויכול לראות בו גורם קריטי וחשוב בתהליכי למידה.

מורה מלמד כיתת י"א כהכנה לבגרות במתמטיקה 5 יח"ל. הנושא היום הוא חקירת פונקציית שבר, והוא מנסה להעביר לתלמידיו את הרעיון המורכב של אסימפטוטה אופקית. הנושא מעניין ואלגנטי, והוא רוצה להעביר את היופי והמורכבות של רעיון האינסוף וכיצד הוא מתקיים באסימפטוטה. התלמידים מתקשים בהבנת הנושא, נלחצים: "האם זה יופיע במבחן"? "לא הבנתי כלום, יש איזו שיטה למציאת אסימפטוטה אופקית?" המורה מחזיק בכיסו שיטה שכזו, אך הקשר בינה לבין הרעיון של אסימפטוטה - קלוש. הוא, לבסוף, מכתיב אותה לתלמידיו. הם מרוצים. אולי הם לא הבינו מה זו החיה הזו, אסימפטוטה, אבל הם יוציאו ציון טוב בבגרות, וזה מה שחשוב. הם חושבים שהמורה הוא מורה מעולה, יש לו שיטות טובות.

האם ללמוד מתמטיקה זה בעיקר לשנן שיטות מנצחות? האם זוהי תכלית הדיסציפלינה? להגיע לפתרון הנכון? מדוע הפדגוגיה הרווחת צרה כל כך? האם בני אדם לומדים רק דרך הקוגניציה? דרך שינון, זכרון, ידע, תפיסה? על מה אנחנו מדברים כשאנחנו מדברים על הוראת מתמטיקה?

בואו נדבר. אבל באמת.

בכתבה השלישית, נגלה ממדים נוספים שמאפשרים לנו ללמוד ולצמוח.

הכותב הינו חבר בצוות החממה הפדגוגית, מנחה ומפתח מיחידת המו"פ של מכון ברנקו וייס; מורה למתמטיקה ולפיזיקה, העוסק בחקירה וגיבוש של עקרונות היסוד של הפדגוגיה.